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記事ソース/三角関数の公式１†

これはrst2hooktailの記事ソース保存・変換用です（詳細）．

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記事ソースの内容

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======================================================
三角関数の公式１
======================================================

加法定理、２倍角の公式、３倍角の公式、半角の公式、積和の公式、和積の公式を掲載します。２倍角の公式以降は、全て加法定理から導けるものです。丸暗記してもすぐに忘れます。簡単な導き方は書いてありますが、一度、自分でしっかりと計算して導き方を覚えましょう。



平方関係
-----------------------------------------------------
一番目の式は、公式というよりは定義そのものです。

<tex>
\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1
</tex>


<tex>
1+\tan^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta}
</tex>

<tex>
1+ \frac{1}{\tan^2 \theta} = \frac{1}{\sin^2 \theta}
</tex>

加法定理
------------------------------------------------------

<tex>
\sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta
</tex>

<tex>
\cos (\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta
</tex>

<tex>
\tan (\alpha \pm \beta) = \frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta}
</tex>


２倍角の公式
--------------------------------------------------------------------
加法定理で $\alpha = \beta = \theta$ と置けば出てきます。

<tex>
\sin 2 \theta = 2 \sin \theta \cos \theta 
</tex>

<tex>
\cos 2 \theta = 2 \cos^2 \theta -1 = 1- 2\sin^2 \theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta
</tex>

<tex>
\tan 2 \theta = \frac{2 \tan \theta}{1- \tan^2 \theta}
</tex>

ここで $\tan {\theta}=t$ と置くと、次のようにも表せます。
<tex>
\sin 2 \theta = \frac{2t}{1+t^2}
</tex>

<tex>
\cos 2 \theta = \frac{1-t^2}{1+t^2}
</tex>

<tex>
\tan 2 \theta = \frac{2t}{1-t^2}
</tex>


３倍角の公式
----------------------------------------------------------------
加法定理で、 $\alpha = \theta$ , $\beta = 2\theta$ と置き、２倍角の公式を再び使えば導けます。もしくは、オイラーの関係式 $\exp ^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$ の両辺を３乗して、実部と虚部に分ける方法も良いでしょう。

<tex>
\sin 3 \theta = 3 \sin \theta -4 \sin^3 \theta 
</tex>

<tex>
\cos 3 \theta = 4 \cos^3 \theta -3 \cos \theta 
</tex>

<tex>
\tan 3 \theta = \frac{3 \tan \theta - \tan^3 \theta}{1- 3 \tan^2 \theta}
</tex>


半角の公式
--------------------------------------------------------
２倍角の公式から導けます。

<tex>
\sin^2 \frac{ \theta}{2} = \frac{1-\cos \theta}{2}
</tex>

<tex>
\cos^2 \frac{ \theta}{2} = \frac{1+\cos \theta}{2}
</tex>

<tex>
\tan^2 \frac{ \theta}{2} = \frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}
</tex>

積和の公式
----------------------------------------------------------
この公式は、加法定理で $\sin(\alpha \pm \beta)$ ,  $\cos(\alpha \pm \beta)$ を計算しておき、うまく足したり引いたりして導きます。

<tex>
\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}\Big(  \sin(\alpha + \beta) + \sin (\alpha - \beta)\Big)
</tex>

<tex>
\cos \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}\Big(  \sin(\alpha + \beta) - \sin (\alpha - \beta)\Big)
</tex>

<tex>
\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}\Big(  \cos(\alpha + \beta) + \cos (\alpha - \beta)\Big)
</tex>


<tex>
\sin \alpha \sin \beta = -\frac{1}{2}\Big(  \cos(\alpha + \beta) - \cos (\alpha - \beta)\Big)
</tex>


和積の公式
------------------------------------------------------------------------
積和の公式で $\alpha = \frac{A+B}{2}$ , $\beta = \frac{A-B}{2}$ と置けば導けます。

<tex>
\sin A +\sin B = 2 \sin \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}
</tex>

<tex>
\sin A -\sin B = 2 \cos \frac{A+B}{2}\sin \frac{A-B}{2}
</tex>

<tex>
\cos A +\cos B = 2 \cos \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}
</tex>

<tex>
\cos A -\cos B = -2 \sin \frac{A+B}{2}\sin \frac{A-B}{2}
</tex>

逆に、和積の公式で $\frac{A+B}{2}=\alpha$ ,  $\frac{A-B}{2}=\beta$ と置けば積和の公式が得られます。


@@author: Joh@@
@@accept: 2006-01-15@@
@@category: 物理数学@@
@@id:trigF1@@