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記事ソース/行列式†

これはrst2hooktailの記事ソース保存・変換用です（詳細）．

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記事ソースの内容

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===============
行列式
===============

行列式についての定義，そしてそれを展開する方法，ベクトル積との関係について説明します．


行列式の定義
----------------

<tex>
\bm{A} = \begin{pmatrix}a & b\\ c & d \end{pmatrix}
</tex>
という行列 $\bm{A}$ があった場合，行列式はつぎのように定義されます．
<tex>
\vert \bm{A} \vert = \begin{vmatrix}a & b\\ c & d \end{vmatrix} =ad-bc
</tex>
行列式は行列の成分同士の演算ですから，ベクトルではなく単なる値（スカラー量）です．
下のように書いても，上式と同じ意味です．
<tex>
\mathrm{det}\,\bm{A} = \mathrm{det} \begin{pmatrix}a & b\\ c & d \end{pmatrix} =ad-bc
</tex>
また， det とは行列式を表す単語 determinant の略です．


行列式の展開
-------------------

定義から2次の行列式ならすぐに求めることができますが， 3次以上の場合にはそうもいきません．
そこで，3次以上の行列式を2次以下に展開する方法があります．
それは小行列式展開と呼ばれる方法です．たとえば，つぎのように展開できます．
<tex>
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{vmatrix}
= a_{11}\begin{vmatrix}
	  a_{22} & a_{23}\\
	  a_{32} & a_{33}
	 \end{vmatrix}
- a_{21}\begin{vmatrix}
	  a_{12} & a_{13}\\
	  a_{32} & a_{33}
	 \end{vmatrix}
+ a_{31}\begin{vmatrix}
	  a_{12} & a_{13}\\
	  a_{22} & a_{23}
	 \end{vmatrix}
</tex>
何をやっているのか良く分かりませんね．
これは第1列について展開しているんですが，
じっくり見ると規則性があることに気付きます．

係数について見てみます．まずは $a_{11}$ についてです．

.. image:: fig-a11.png

右辺第1項の係数には $a_{11}$ が出てきてます．
そしてそれに付随する小行列式は $a_{11}$ が含まれている
1行目と1列目が取り除かれた形になってます．

$a_{21},a_{31}$ についても同様のことがいえます．

|fig-21| |fig-31|

.. |fig-21| image:: fig-a21.png
.. |fig-31| image:: fig-a31.png

符号について見てみます．第1行1列（左上）をプラス，
そこから下または右に1つ進むと符号が反転すると決められています．
たとえば $a_{11}$ は左上にあるのでプラス， $a_{21}$ は1つ下に行くのでマイナス，
$a_{31}$ は2つ下に行くのでプラスになります．

.. image:: fig-pm.png

係数と符号は第1列以外で展開しても全く同じように成り立ちます．
たとえば第2行で展開すれば
<tex>
\begin{vmatrix}
 a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
 a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
 a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{vmatrix}
=
- a_{21}\begin{vmatrix}
	  a_{12} & a_{13}\\
	  a_{32} & a_{33}
	 \end{vmatrix}
+ a_{22}\begin{vmatrix}
	  a_{11} & a_{13}\\
	  a_{31} & a_{33}
	 \end{vmatrix}
- a_{23}\begin{vmatrix}
	  a_{11} & a_{12}\\
	  a_{31} & a_{32}
	 \end{vmatrix}
</tex>
となります．


ベクトル積と行列式
----------------------

覚えにくいベクトル積も，行列式を使えば簡単に覚える事ができます．ベクトル積の定義は
<tex>
\bm{A}\times\bm{B} = (A_yB_z-A_zB_y)\bm{i}+(A_zB_x-A_xB_z)\bm{j}+(A_xB_y-A_yB_x)\bm{k}
</tex>
です．慣れないうちは各成分の中身がこんがらがってしまいます．
でもよく見てみると行列式で書けることに気付きます．
$(A_yB_z-A_zB_y)$ は行列式で書くと 
$\begin{vmatrix}A_y & A_z\\ B_y & B_z\end{vmatrix}$ ですね
（よく分からなければ逆に行列式を計算して確かめてみてください）．
同様に他の成分も行列式で書くと
<tex>
\bm{A}\times\bm{B}
 =\begin{vmatrix}A_y & A_z\\B_y & B_z\end{vmatrix}\bm{i}
 +\begin{vmatrix}A_z & A_x\\B_z & B_x\end{vmatrix}\bm{j}
 +\begin{vmatrix}A_x & A_y\\B_x & B_y\end{vmatrix}\bm{k}
</tex>
となります．少し覚えやすそうになりました．
さらに，先ほどの小行列式展開の逆を行います
（この操作の前にjの符号を変えています．理由はあとで分かります）．
<tex>
\bm{A}\times\bm{B} =\begin{vmatrix}\bm{i}&\bm{j}&\bm{k}\\ A_x&A_y&A_z\\ B_x&B_y&B_z\end{vmatrix}
</tex>
行ごとに $ijk$ ， $xyz$ と順番に並んでいるので，これなら覚えやすいです．
ベクトル積の成分を使うときにはこれを展開して2次の行列式にしてやり，
行列式の計算をすればいいわけです．
ためしに展開してもとに戻してみます． $i, j, k$ に着目して展開するとそれぞれの係数は

|fig-ABi| |fig-ABj| |fig-ABk|

.. |fig-ABi| image:: fig-ABi.png
.. |fig-ABj| image:: fig-ABj.png
.. |fig-ABk| image:: fig-ABk.png

ですから
<tex>
\begin{vmatrix}\bm{i}&\bm{j}&\bm{k}\\A_x&A_y&A_z\\B_x&B_y&B_z\end{vmatrix}
&=  \bm{i}\begin{vmatrix}A_y&A_z\\B_y&B_z\end{vmatrix}
   -\bm{j}\begin{vmatrix}A_x&A_z\\B_x&B_z\end{vmatrix}
   +\bm{k}\begin{vmatrix}A_x&A_y\\B_x&B_y\end{vmatrix}\\
&=(A_yB_z-A_zB_y)\bm{i}-(A_xB_z-A_zB_x)\bm{j}+(A_xB_y-A_yB_x)\bm{k}\\
&=(A_yB_z-A_zB_y)\bm{i}+(A_zB_x-A_xB_z)\bm{j}+(A_xB_y-A_yB_x)\bm{k}
</tex>
となり，元に戻りましたね． $j$ の符号を変えた理由も分かると思います．


rotと行列式
-----------------

ベクトル積と同様にベクトル解析のrotも行列式で覚えられます．

|fig-rotAi| |fig-rotAj| |fig-rotAk|

.. |fig-rotAi| image:: fig-rotAi.png
.. |fig-rotAj| image:: fig-rotAj.png
.. |fig-rotAk| image:: fig-rotAk.png

より
<tex>
\mathrm{rot}\,\bm{A}
&=\nabla\times\bm{A}\\
&= \begin{vmatrix}
    \bm{i}&\bm{j}&\bm{k}\\
    \partial/\partial x & \partial/\partial y & \partial/\partial z\\
    A_x & A_y & A_z
   \end{vmatrix}\\
&=  \bm{i}\begin{vmatrix}
	    \partial/\partial y  & \partial/\partial z\\
	    A_y & A_z
	  \end{vmatrix}
   -\bm{j}\begin{vmatrix}
	    \partial/\partial x  & \partial/\partial z\\
	    A_x & A_z
	   \end{vmatrix}
   +\bm{k}\begin{vmatrix}
	    \partial/\partial x  & \partial/\partial y\\
	    A_x & A_y
	   \end{vmatrix}\\
&= \left(\frac{\partial A_z}{\partial y}-\frac{\partial A_y}{\partial z}\right)\bm{i}
  -\left(\frac{\partial A_z}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial z}\right)\bm{j}
  +\left(\frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y}\right)\bm{k}
</tex>
のように表記することができます．


@@author:崎間@@
@@accept:2003-2-9@@
@@category:物理数学@@
@@id:determinant@@