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記事ソース/位置演算子の固有関数の運動量表示†これはrst2hooktailの記事ソース保存・変換用です(詳細). コンバート公開・更新メニュー ▼▲記事ソースの内容============================================================ 位置演算子の固有関数の運動量表示 ============================================================ こんにちは、クロメルです。 S1Sz0の状態に関する考察_ に続き、 今度は位置演算子 $\hat{q}$ と運動量演算子 $\hat{p}$ の固有状態の変換を書きます。 基本事項 ====================== これからしたいことは、位置演算子 $\hat{q}$ の固有関数 $|q^\prime \rangle$ を 運動量演算子 $\hat{p}$ の固有関数 $|p^\prime \rangle$ で表す [*]_ ことです。 .. [*] : ディラックの書き方に習い、プライム $^\prime$ は、特定の実数を表すことにします。 $A$ の演算子は、ハット $\hat{A}$ をつけて表します。 位置演算子 $\hat{q}$ の固有関数は、 <tex> \hat{q}| q^\prime \rangle = q^\prime |q^\prime \rangle \tag{##} </tex> を満たし、 $q$ 表示をすると、 <tex> \langle q | q^\prime \rangle = \delta(q-q^\prime) \tag{##} </tex> となります。 また、運動量演算子 $\hat{p}$ の固有関数は、 <tex> \hat{p}| p^\prime \rangle = p^\prime |p^\prime \rangle \tag{##} </tex> を満たし、 $q$ 表示をすると、 <tex> \langle q | p^\prime \rangle = e^{ip^\prime q/\hbar} \tag{##} </tex> また、恒等演算子、 <tex> \hat{1} = \int |q \rangle \langle q | dq \tag{##} </tex> を使います。 ここまでに挙げた基本的な事項は、参考文献に挙げた「量子力学」ディラック著などを参照してください。 本題 ====================== さて、いよいよ展開してみましょう。 <tex> \langle p | q^\prime \rangle &= \langle p | \hat{1} | q^\prime \rangle \\ &= \int\langle p | q \rangle \langle q | q^\prime \rangle dq \\ &= \int e^{-ip q/\hbar} \delta(q-q^\prime) \\ &= e^{-ip q^\prime/\hbar} \tag{##} </tex> これは、位置 $q=q^\prime$ に局在する粒子は、 運動量 $p$ が定まらないと言うハイゼンベルクの不確定性原理 を表しています。 実空間と運動量空間は、フーリエ変換で結ばれています。 今日はここまで。 @@reference: P.A.M.Dirac, The Principles of Quantum Mechanics (fourth edition), Oxford University Press(みすず書房), 1958, p62.p64.p97, 4622025124@@ .. _S1Sz0の状態に関する考察: http://hooktail.sakura.ne.jp/quantum/SxSyEigen/ @@author:クロメル@@ @@accept:2009-12-27@@ @@category:量子力学@@ @@id:qpEigen@@ |