記事ソース/リー微分のイメージ(ベクトルによるベクトルのリー微分)
メニュー現在 12 名がオンラインです。 最新の25件2023-12-12
2023-11-11
2023-11-06
2023-07-15
2022-09-14
2022-07-01
2022-06-12
2022-04-13
2021-12-03
2021-10-07
2021-08-12
2021-07-26
2021-06-30
2021-06-06
2021-05-02
2021-04-17
2021-03-20
2021-03-19
2021-03-11
|
記事ソース/リー微分のイメージ(ベクトルによるベクトルのリー微分)†これはrst2hooktailの記事ソース保存・変換用です（詳細）． コンバート公開・更新メニュー ▼▲記事ソースの内容============================================================
リー微分のイメージ(ベクトルによるベクトルのリー微分)
============================================================
この記事では、ベクトルによるベクトルのリー微分を説明します。
<tex>
\mathcal{L}_X Y = [X,Y] \tag{##}
</tex>
と書かれても、よく分からず途方に暮れた人は多いのではないでしょうか？
リー微分は分かってしまえば簡単です。
二つの流れを用意する
============================
二次元平面上の二つの流れを用意します。
まず、 微分幾何学における流れの具体例_ で取り扱った放物線状のベクトル場 $ Y = \partial_x + x \partial_y $
と、 $X = \partial_x$ と言う、 $x$ 軸の正の方向に単位量だけ流れている流れを用意します。
ここで、
<tex>
\mathcal{L}_X Y &= [X,Y] \\
&= \dfrac{\partial}{\partial x} \left( \dfrac{\partial}{\partial x} + x \dfrac{\partial}{\partial y} \right)
- \left( \dfrac{\partial}{\partial x} + x \dfrac{\partial}{\partial y} \right) \left( \dfrac{\partial}{\partial x} \right) \\
&= \left( \dfrac{\partial^2}{\partial x^2} + \dfrac{\partial}{\partial y} + x \dfrac{\partial^2}{\partial x \partial y} \right)
-\left( \dfrac{\partial^2}{\partial x^2} + x \dfrac{\partial^2}{\partial x \partial y} \right) \\
&= \dfrac{\partial}{\partial y} \tag{##}
</tex>
となりました。これは、何を表しているかと言うと、 $X$ の流れに単位量だけ乗った後 $Y$ の流れに単位量だけ乗った結果から、 $Y$ の流れに単位量だけ乗った後 $X$ の流れに単位量だけ乗った結果を引いたベクトルを表しています。
図を見れば明らかでしょう。
.. image :: chromel-whatMeansLieDerivative-01.png
これは、参考文献にもある通りです。 $XY$ も $YX$ も二階の微分を含むのでベクトルではないのですが、 $XY-YX$ はうまく相殺して一階の微分となっていることに注意して下さい。実はこの記事はリー微分の全てではなくて、多様体上のリー微分になると、基底である $\partial_x,\partial_y$ 等の変換も扱わねばならないようです。僕が理解した時には追って報告しようと思います。今日はここまで、お疲れさまでした。
.. _微分幾何学における流れの具体例: http://hooktail.sub.jp/mathInPhys/flow/
@@reference: 中原幹夫 佐久間一浩,理論物理学のための幾何学とトポロジーI,ピアソン・エデュケーション社,2000,p148-p152,4894711656@@
@@reference: 中原幹夫 佐久間一浩,理論物理学のための幾何学とトポロジーI(第二版),ピアソン・エデュケーション社,2018,p----,4535788065@@
@@author:クロメル@@
@@accept:2019-07-31@@
@@category:微分・位相幾何学@@
@@id:whatMeansLieDerivative@@
|
