物理のかぎしっぽ 記事ソース/ミンコフスキー空間上の微分形式

記事ソース/ミンコフスキー空間上の微分形式

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記事ソースの内容

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ミンコフスキー空間上の微分形式
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この記事では、相対性理論などに使われるミンコフスキー空間という空間上での微分形式を考えてみます。立派な名前がついていますが、どんな空間なのかと言えば、四次元空間です。特徴として、座標基底の中に *計量が負になるものが一つ* あります。このような場合、 ホッジ作用素_ の取り方に注意が必要でした。( ホッジ作用素_ や `p-ベクトルの内積`_ の記事中にもミンコフスキー空間に関する注意を書いていますので、参照下さい。)もう一度、ホッジ作用素の定義を思い出しましょう。 $R^{n}$ 上の $p$ 次微分形式の基底を $\sigma ^{H}$ とすると、 $*\sigma ^{H}$ は $\land ^{n-p}R^{n}$ の基底 $\sigma ^{K}$ となります。

<tex>
\sigma ^{H} = (\sigma ^{K},\sigma^{K})\sigma ^{K} 	\tag{1}
</tex>

ただし、 $\sigma ^{H} \land \sigma ^{K}$ は、ボリュームフォームの基底の偶順列だとします。(これらは全て既習の内容なので、少し説明を端折っています。訳が分からないという人は、 ホッジ作用素_ の内容をもう一度よく復習して下さい。)式 $(1)$ で問題なのは、右辺の $(\sigma ^{K},\sigma^{K})$ という内積です。ミンコフスキー空間の正規直交基底を $\{ \bm{e_{1}}, \bm{e_{2}}, \bm{e_{3}} , \bm{e_{t}} \} $ とすると、最初の三つは、普通のユークリッド空間でお馴染みの基底ですが、四番目の $\bm{e_{t}}$ が例の、計量が負になる基底になります。基底の内積は次のようになります。

<tex>
\bm{e_{i}} \cdot \bm{e_{j}} = \delta _{ij}  \ \ (i,j=1,2,3)	\tag{1-1}
</tex>

<tex>
\bm{e_{i}} \cdot \bm{e_{t}} = 0  \ \ (i=1,2,3)	\tag{1-2}
</tex>

<tex>
\bm{e_{t}} \cdot \bm{e_{t}} =-1 	\tag{1-3}
</tex>

式 $(1-1)(1-2)$ は正規直交基底の定義として、よく知っているものです。式 $(1-3)$ が特徴的ですね。このような計量を *ローレンツ計量* と呼びます。このため、例えば $\sigma ^{K}= \bm{e_{1}}\land \bm{e_{2}}$ の場合と、 $\sigma ^{K}= \bm{e_{1}}\land \bm{e_{t}}$ の場合では、内積 $(\sigma ^{K},\sigma^{K})$ が異なってきます。 `p-ベクトルの内積`_ に従って、計算してみましょう。

<tex>
(\bm{e_{1}}\land \bm{e_{2}} , \bm{e_{1}}\land \bm{e_{2}}) &= 
  \left|
    \begin{array}{cc}
\bm{e_{1}}\cdot \bm{e_{1}} & \bm{e_{1}}\cdot \bm{e_{2}} \\
\bm{e_{2}}\cdot \bm{e_{1}} & \bm{e_{2}}\cdot \bm{e_{2}} \\
    \end{array}
  \right| \\
& = 
  \left|
    \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
    \end{array}
  \right| \\
& = 1	\tag{2-1}
</tex>

<tex>
(\bm{e_{1}}\land \bm{e_{t}} , \bm{e_{1}}\land \bm{e_{t}}) &= 
  \left|
    \begin{array}{cc}
\bm{e_{1}}\cdot \bm{e_{1}} & \bm{e_{1}}\cdot \bm{e_{t}} \\
\bm{e_{t}}\cdot \bm{e_{1}} & \bm{e_{t}}\cdot \bm{e_{t}} \\
    \end{array}
  \right| \\
& = 
  \left|
    \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & -1 \\
    \end{array}
  \right| \\
& = -1	\tag{2-2}
</tex>

どうやら、 $\bm{e_{t}}$ が混ざっていると $-1$ になるようです。以上の議論を念頭に置きつつ、次のセクションではミンコフスキー空間上の微分形式を考えてみます。 四次元の微分形式_ とも、後で比べてみて下さい。


ミンコフスキー空間上の微分形式
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一次微分形式の基底を $(dx,dy,dz,cdt)$ とします。 $dt$ の前についている $c$ が妙ですが、これは単なる定数です。気にしないで下さい(・ω・)。空間の向きを $dxdydzcdt$ という順列に決めましょう。このとき、ホッジ作用素の写像の仕方に注意が必要です。前セクションの議論により、 $cdt$ が右辺に出て来る写像には、 $(-1)$ が掛かってきます。


<tex>
*(dx \land dy \land dz) = -cdt 	\tag{3-1}
</tex>

<tex>
*(dy \land dz \land cdt) = dx \tag{3-2}
</tex>

<tex>
*(dz \land cdt \land dx) = dy  \tag{3-3}
</tex>

<tex>
*(cdt \land dx \land dy) = dz \tag{3-4}
</tex>


さらに、二次微分形式の基底のホッジ作用素も考えてみましょう。できれば、式 $(1)$ の定義通りに計算して、これらの関係を一度自分で確認してみて下さい。


<tex>
*(dx \land dy) = -dz \land cdt 		\tag{4-1}
</tex>

<tex>
*(dy \land dz ) =  - dx \land dct	\tag{4-2}
</tex>

<tex>
*(dz \land dx ) =  - dy \land dct	\tag{4-3}
</tex>

<tex>
*(dx \land cdt ) =  dy \land dz  	\tag{4-4}
</tex>

<tex>
*(dy \land cdt )  =  dz \land dx 	\tag{4-5}
</tex>

<tex>
*(dz \land cdt )  =  dx \land dy 	\tag{4-6}
</tex>


ここで、式 $(3)(4)$ で用いた基底の並びは、全て $(dx \ dy \ dz \ cdt)$ という順列の偶順列になっていますので、右辺に出てきたマイナスは、ひとえに $cdt$ 軸の計量が負であるという事情だけによるものです。 $(i \ j \ k)$ を $(1 \ 2 \ 3)$ の偶順列とし、 $x,y,z$ を $x^{1},y^{2},z^{3}$ と表現することにすれば、式 $(3)(4)$ をまとめて次のように略記することも出来ます。

<tex>
*(dx^{i} \land cdt )  =  dx^{j} \land dx^{k} 	\tag{5-1}
</tex>

<tex>
*(dx^{j} \land dx^{k} )  = - dx^{i} \land cdt 	\tag{5-2}
</tex>


ミンコフスキー空間上の微分形式などという変チクリンなものを考えた理由は、電磁気学の基礎方程式とも言えるマックスウェルの方程式を、微分形式を使って美しく記述したいという動機によるものです。本当に美しく簡単な形にまとまりますので、純粋に美学的・審美的観点からもぜひ眺めてみて欲しいものですし、そのあまりにも単純な形から、(特に幾何学的な考察によって)電磁気学をより深く理解する一助ともなることでしょう。ミンコフスキー空間上の微分形式によるマックスウェル方程式の定式化は、 次_ の記事で考えます。



ミンコフスキー
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ミンコフスキー空間にその名を残すミンコフスキー( $\text{Hermann Minkowski (1864-1909)}$ )は、現在のリトアニア(当時はロシア帝国領)に生まれました。両親はドイツ人で、一家もその後ドイツのケーニヒスベルグ(現在はロシアの飛び地)に引っ越していますので、ミンコフスキーはドイツ人だと考えた方が良さそうです。ミンコフスキーはケーニヒスベルグ大学へ進みますが、数学の才能は抜きん出ていたようです。ヒルベルト( $\text{David Hilbert (1862-1943)}$ )は大学の級友で、また新任教官にはフルヴィッツ( $\text{Adolf Hurwitz (1859-1919)}$ )がおり、彼等とは親友とも言える間柄でした。


.. figure:: Joh-Minkowski.png 

	アインシュタインが数学の重要性に目覚めたのは、ミンコフスキーのお陰だ。



後年、ミンコフスキーはボン、ケーニヒスベルグなどで職を得ますが、チューリッヒの $Eidgen\ddot{o} ssische \ Polytechnikum \ Z\ddot{u}rich$ で教鞭を取っていたときの学生にアインシュタイン( $\text{Albert Einstein (1879-1955)}$ )がいます。最後はヒルベルトの招きに応じてゲッチンゲン大学に落ち着き、数学の研究に没頭します。ミンコフスキーの功績で何よりも有名なものは、ローレンツ( $\text{Hendrik Antoon Lorentz (1853-1928)}$ )とアインシュタインによる相対性理論を見事に記述する、ミンコフスキー空間という概念を数学的に洗練したことでしょう。ただし、ミンコフスキー自身の興味は純数学的内容に向いており、二次形式や連分数法の研究に時間をかけています。また、「数の幾何学」という分野はミンコフスキーによって創始された、幾何学と整数論が合わさったような分野で、ミンコフスキーの凸型定理という定理は有名です。






.. _次: http://www12.plala.or.jp/ksp/differentialforms/DiffFormsMaxwellsEq/
.. _ホッジ作用素: http://www12.plala.or.jp/ksp/differentialforms/HodgeStarOperator/
.. _`p-ベクトルの内積`: http://www12.plala.or.jp/ksp/differentialforms/pVectorSpace/
.. _四次元の微分形式: http://www12.plala.or.jp/ksp/differentialforms/FourDimDiffForms/


@@author:Joh@@
@@accept: 2006-11-13@@
@@category: 微分形式@@
@@id: MinkowskiDiffForms@@
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