記事ソース/ポテンシャルと流線
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記事ソース/ポテンシャルと流線†これはrst2hooktailの記事ソース保存・変換用です（詳細）． コンバート公開・更新メニュー ▼▲記事ソースの内容
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ポテンシャルと流線
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この記事は、一つ前の 多価関数のポテンシャル_ の内容の続きになっています。
一価ポテンシャルの流線
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単連結な領域で定義されたポテンシャル場 $\bm{A}$ は一価関数によって与えることができました。そして、このポテンシャル場には次のような大きな特徴がありました。
1. 線積分 $\int \limits_{L} \bm{A} \cdot d\bm{r}$ は積分経路によらない。
2. 周回積分 $\ointop \limits_{C} \bm{A} \cdot d\bm{r}$ は、積分経路によらず常に $0$ になる。
本当はこの二つは同じことを言っているんですが（１の線積分で始点＝終点としたら、２の周回積分になりますからね）、非常に大事な性質なので別に書いてみました。この二番目の性質より、次のことが言えます。
.. admonition:: theorem
単連結な領域で、一価ポテンシャル関数によって与えられる流れ場に、閉じた流線はありません。
.. admonition:: proof
もし閉曲線となる流線があれば、その流線に沿って線積分を考えるとき、流れと同じ方向なら $\bm{A}\cdot d\bm{r}$ は常に正、流れと逆方向なら常に負となり、どっち向きに一周しても $0$ にはなりません。よって、流線は閉曲線にはなりません。■
例えば、 多価関数のポテンシャル_ の最後で取り上げた、直線電流がビオ＝サヴァールの法則によって作る磁場は、電流を中心とする同心円状の閉曲線になりますから、この流れを一価ポテンシャル関数で表わすのは無理で、多価ポテンシャル関数による表現になるわけです。
.. admonition:: theorem
流線が閉じる流れをポテンシャルで表わせるとすれば、それは多価関数になります。
.. [*] ただし、多重連結領域の多価ポテンシャル関数も、工夫して（例えば穴を塞ぐなどして）領域を単連結に直すことで一価関数にすることが出来ます。そうすると、同時に閉曲線状の流線は有限領域には描けなくなります。こういった操作については、難しいのでここでは取り上げません。詳しくは、また機会があれば電磁気学の分野などで、具体的な問題とともに考えてみたいと思います。
.. _多価関数のポテンシャル: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis/MultivaluedPotential/
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-10-11@@
@@category: ベクトル解析@@
@@id: PotentialTrajectory@@
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