記事ソース/ホッジ作用素を使った公式補足
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記事ソース/ホッジ作用素を使った公式補足†これはrst2hooktailの記事ソース保存・変換用です（詳細）． コンバート公開・更新メニュー ▼▲記事ソースの内容=========================================================
ホッジ作用素を使った公式補足
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外積代数に関して重要な事柄は、ここまでの記事でほとんどですが、 ホッジ作用素_ に関する公式だけ、少し補足しておきます。
ホッジ作用素を二回作用させる
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以下の議論では、空間の向きを保つとします。（つまり、右手系⇔左手系を途中で入れ替えません。）さて、一般のウェッジ積の次数に関し、 $p$ ベクトル $\lambda$ と $q$ ベクトルのウェッジ積 $\mu$ について次の関係がなりたちました。（ ウェッジ積について補足_ を参照して下さい。）
<tex>
\lambda \land \mu= (-1)^{pq}\mu \land \lambda \tag{1}
</tex>
これを基底 $\sigma_{k}, \sigma_{n-k}$ に適用すると次のようになります。ただし、 $\sigma_{k}$ は $\land ^{k}R^{n}$ の基底、 $\sigma_{n-k}$ は $\land ^{n-k}R^{n}$ の基底とします。
<tex>
\sigma_{k} \land \sigma_{n-k} = (-1)^{k(n-k)}\sigma_{n-k} \land \sigma_{k} \tag{2}
</tex>
一方、ホッジ作用素の定義式より、次式が言えました。空間の計量が分からないので、右辺の内積はそのままにしておきます。
<tex>
\sigma_{k} \land \sigma_{n-k} &= (*\sigma_{k} , \sigma_{n-k} ) \sigma_{n} \\
&= (*\sigma_{n-k} , \sigma_{n-k} ) \sigma_{n} \tag{3}
</tex>
式 $(3)$ で $k$ と $n-k$ を入れ替えると次式を得ます。
<tex>
\sigma_{n-k} \land \sigma_{k} = (\sigma_{k} , \sigma_{k}) \sigma_{n} \tag{4}
</tex>
そこで、式 $(2)(3)(4)$ を見比べて、次式が得られます。これは言わば、ホッジ作用素の逆作用を表わす式だと言えます。
<tex>
*\sigma _{n-k} = (-1)^{k(n-k)} (\sigma_{k},\sigma_{k}) \sigma_{k} \tag{5}
</tex>
式 $(3)(5)$ より、ホッジ作用素を二回連続して作用させる場合の表式を得られます。（いま、基底としては正規直交基底を考えていますので、 $(\sigma_{k},\sigma_{k})(\sigma_{n-k},\sigma_{n-k})=(\sigma_{n},\sigma_{n})$ となることに注意して下さい。）
<tex>
**\sigma_{k} &=*( (\sigma_{n-k},\sigma_{n-k})\sigma_{n-k}) \\
& = (\sigma_{n-k},\sigma_{n-k}) * \sigma_{n-k} \\
& = (\sigma_{n-k},\sigma_{n-k}) (-1)^{k(n-k)} (\sigma_{k},\sigma_{k}) \sigma_{k} \\
&= (-1)^{k(n-k)} (\sigma_{n} , \sigma_{n} )\sigma_{k} \tag{6}
</tex>
基底の内積 $(\sigma _{n}, \sigma _{n})$ は、 `p-ベクトルの内積`_ で定義したように、 $R^{n}$ の基底のうち、計量がマイナスとなる基底の個数に応じて $\pm 1$ のどちらかの値を取ります。これで、ホッジ作用素を二連続で作用させた場合の公式が得られました。ボリュームフォームの内積は、 $R^{n}$ の基底で計量を負をするもの（例えばミンコフスキー空間の時間軸）の個数を $s$ として、 $(-1)^{s}$ と書けますので、式 $(6)$ は次のようにまとめられます。（符号定数 $t$ を使って $(-1)^{s}=(-1)^{\frac{n-t}{2}}$ としても同じです。）
.. admonition:: theorem
$**\sigma_{k} = (-1)^{k(n-k)+s} \sigma_{k}$
具体例
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三次元ユークリッド空間 $E^{3}$ で考えましょう。正規直交基底を $\{ \bm{e_{1}}, \bm{e_{2}}, \bm{e_{3}} \} $ と取り、ボリュームフォームを $(\bm{e_{1}}\land \bm{e_{2}}\land \bm{e_{3}}, \bm{e_{1}}\land \bm{e_{2}}\land \bm{e_{3}})=1$ と決めます。このとき、例えば、 $\land^{1}R^{3}$ の基底 $\bm{e_{1}}$ と $\land^{2}R^{3}$ の基底 $\bm{e_{2}} \land \bm{e_{3}}$ は、ホッジ作用素によって次のように移されるのでした。（ ホッジ作用素_ の記事の具体例で考えました。）
<tex>
*\bm{e_{1}} = \bm{e_{2}} \land \bm{e_{3}}
</tex>
<tex>
*(\bm{e_{2}} \land \bm{e_{3}}) = \bm{e_{1}}
</tex>
公式 $(6)$ は、確かにこの結果を説明しています。
<tex>
**(\bm{e_{1}})&=(-1)^{1(3-1)}(\bm{e_{1}}\land \bm{e_{2}}\land \bm{e_{3}} , \bm{e_{1}}\land \bm{e_{2}}\land \bm{e_{3}}) \bm{e_{1}} \\
&= \bm{e_{1}}
</tex>
ちゃんと元に戻ってきました(^ ^)。
一つの定理
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ホッジ作用素に関して、もう一つ定理を補足しておきます。 $\land ^{k}R^{n}$ に属する二つの元 $\alpha , \beta$ に対し、次式が成り立ちます。
.. admonition:: theorem
$\alpha \land *\beta = \beta \land *\alpha = (-1)^{s}(\alpha , \beta )\sigma_{n}$
.. admonition:: proof
$\alpha$ を $A\sigma_{k}=\bm{e_{h_{1}}}\land \cdots \land \bm{e_{h_{k}}}$ と書くとき、定理の両辺を $0$ にしないのは、 $*\beta$ の基底が $\bm{e_{h_{i}}}$ を含まないときだけです。（ ホッジ作用素_ の記事を参照して下さい。）このことは、裏を返せば $\beta$ の基底が $\sigma_{k}$ だということです。そこで、 $\beta = B\sigma_{k}$ と書きます。 $\sigma_{k}$ と、構成する基底を重複しない $\land ^{n-k}R^{n}$ の基底を $\sigma_{n-k}$ と書きます。このとき、 $\alpha \land *\beta = AB \sigma_{k} \land (\sigma_{n-k},\sigma_{n-k})\sigma_{n-k}=AB(\sigma_{n-k},\sigma_{n-k})\sigma_{n}$ と変形できますが、さらに式 $(5)$ を用いて $AB(\sigma_{n-k},\sigma_{n-k})\sigma_{n}=AB(\sigma_{k},\sigma_{k})(-1)^{s}\sigma_{n}=(\alpha , \beta)(-1)^{-1}\sigma_{n}$ と変形されます。これで定理が示されました。■
.. _ホッジ作用素: http://www12.plala.or.jp/ksp/differentialforms/HodgeStarOperator/
.. _ウェッジ積について補足: http://www12.plala.or.jp/ksp/differentialforms/ExteriorProds/
.. _`p-ベクトルの内積`: http://www12.plala.or.jp/ksp/differentialforms/pVectorSpace/
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-11-06@@
@@reference: Harley Flanders, Differential Forms with Applications to the Physical Science, Dover Publications Inc., 1990, 032111583x@@
@@category: 微分形式@@
@@id: HodgeStarOperatorApp@@
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