記事ソース/スカラー場と勾配
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記事ソース/スカラー場と勾配†これはrst2hooktailの記事ソース保存・変換用です（詳細）． コンバート公開・更新メニュー ▼▲記事ソースの内容
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スカラー場と勾配
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スカラー場 $\phi (\bm{r})$ を考えます。
<tex>
\phi (\bm{r}) = \phi (x_{1},x_{2},x_{3}) \tag{1}
</tex>
スカラー場とは、空間の各点 $(x_{1},x_{2},x_{3})$ でスカラーが一つ決まるような関数を言います。ある点では $\phi = \alpha$ 、別の点では $\phi = \beta$ という具合です。しかし $\phi (\bm{r})$ の取る値を全部調べてグラフにすると $(x_{1},x_{2},x_{3},\phi (x_{1},x_{2},x_{3}))$ という四次元のグラフになってしまい、絵に描けないので、何だか何だかよく分かりません。
そこで、代わりにあるスカラー値、例えば $C_{1}$ を考え、 $\phi (\bm{r})=C_{1}$ を満たす $(x_{1},x_{2},x_{3})$ を全てグラフに描いてみることにします。これは何らかの三次元曲面を表わす式となり、グラフも目で見て分かります。その代わり、全体の様子を知ろうと思えば、様々なスカラー値に対して、たくさん曲面を描かなければなりません。
.. image:: Joh-ScalarField.gif
これらの面を *スカラー場の等位面* と呼びます。（物理学の文脈では、スカラー場はしばしばポテンシャルと呼ばれ、このような面は *等ポテンシャル面* と呼ばれます。）上図は等位面の様子を示してみたものです。 $\phi (\bm{r})$ が連続関数ならば、 $C$ の値を少しずつずらしてやって、様々な等位面をタマネギの皮が重なるような感じに書けます。詳しい地図には等高線という線が引いてありますが、等位面とは、等高線の三次元版だと思えば良いでしょう。 $C$ を一定間隔で変化させて様々な等位面を重ねて描く時、 等位面の密度が濃い（隣の等位面との距離が近い）部分は $\phi$ の変化が激しく、逆に等位面の密度が薄い（隣の等位面との距離が遠い）部分は $\phi$ の変化が緩やかな部分だと考えることができます。これは、等高線の密度が濃い部分は山の勾配がきつく、密度が薄い部分の勾配が緩いのと同じ理屈ですね。
.. [*] ただし、地図で『勾配が急だ』『勾配が緩い』などというのは、"高さの勾配"の話をしています。これは、『高さ』が位置の関数になっていると考えられます。一般に式 $(1)$ のように書いた関数 $\phi$ は、高さに限らず、重力、電場、磁場など色々な場を表わす場合があります。電場や磁場など目に見えない世界になると急にイメージが湧かなくなる人がいますが、基本は上の図と、地図の等高線のイメージです。
.. [*] 新田次郎氏の小説『孤高の人』に、主人公・加藤文太郎が、会社の先輩に『地図遊び』という遊びを教わるシーンがあります。地図の等高線をじっくりながめ、地形の起伏が目に浮かび、山が川がどこをどう流れているか、光が当たると影がどう伸びるかという立体的な様子を、山登りに行く前にイメージするという遊びなんですが、かなり高度な立体図形の把握能力が求められそうです。読者のみなさんも、等位面を使って『地図遊び』をしてみて下さい。電場や磁場をいきいきと想像できる人になりたいものです。
等位面が交差することはありません。というのは、最初に『 $\phi$ に対し空間の各点 $(x_{1},x_{2},x_{3})$ でスカラーが *一つ決まる* 』と仮定しているからです。
スカラー場の勾配
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私達は、スカラー場 $\phi (\bm{r})$ の値に応じて決まる曲面（等位面）を考え、等位面の粗密によってスカラー場の変化の具合を考えました。面の粗密に応じて変化の具合が分かるというのは、ちょうど地図の等高線と同じアイデアでした。そこで、次の興味が湧いてくるのは、実際に関数 $\phi (\bm{r})$ の変化具合を計算してみることです。
もしも $\phi$ が一変数の関数、例えば $\phi (t)$ ならば、任意の点（例えば $t=t_{0}$ ）における勾配は、 $\phi$ の微係数を計算して $\frac{d\phi}{dt} \Big| _{t=t_{0}}$ として調べられるでしょう。いま、私達が考えなければならないのは、 $\phi$ が $\phi (\bm{r})=\phi (x_{1},x_{2},x_{3})$ という三変数の関数であることです。とりあえず、三種類の偏導関数を考えてみましょう。
<tex>
\frac{\partial \phi}{\partial x_{1}}, \ \ \ \frac{\partial \phi}{\partial x_{2}}, \ \ \ \frac{\partial \phi}{\partial x_{3}}
</tex>
これら三種類の偏導関数の組は 共変ベクトルと反変ベクトル_ の記事の最後の例で示したように、ベクトルになります。
<tex>
\left( \frac{\partial \phi}{\partial x_{1}}, \ \frac{\partial \phi}{\partial x_{2}}, \ \frac{\partial \phi}{\partial x_{3}} \right)
</tex>
このベクトルを *勾配ベクトル* と呼び、次のように ${\rm grad}$ を用いて表わします。（英語で勾配のことを $gradient$ と言います。）
<tex>
{\rm grad} \phi &= \left( \frac{\partial \phi}{\partial x_{1}}, \ \frac{\partial \phi}{\partial x_{3}}, \ \frac{\partial \phi}{\partial x_{3}} \right) \\
&= \frac{\partial \phi}{\partial x_{1}}\bm{e_{1}}+ \frac{\partial \phi}{\partial x_{3}}\bm{e_{2}}
+ \frac{\partial \phi}{\partial x_{3}}\bm{e_{3}}
</tex>
もしくは、微分演算子を組み合わせたベクトルを $\nabla =\left( \frac{\partial }{\partial x_{1}}, \ \frac{\partial }{\partial x_{2}}, \ \frac{\partial }{\partial x_{3}} \right)$ と置き、次のように書いても同じことです。この記号 $\nabla$ を *ナブラ* もしくは *ハミルトンの演算子* と呼びます。（ナブラを、 $\phi$ のようなスカラーに作用させる時 ${\rm grad}$ と書くのです。ベクトルに作用させるときは ${\rm div}$ と書きます。 ${\rm div}$ はまた後で勉強します。一長一短あるのですが、今後、 ${\rm grad}$ と書くより、記号 $\nabla$ を使う方が多いと思います。）
.. [*] ナブラはベクトルですから、ベクトルの性質を持ち、ベクトルで成り立った定理を使うことができます。そういう意味で、ナブラだって疑いなく一種のベクトルです。ただし、ナブラの演算で注意しなければならないのは、ナブラの右側から何かを掛けると、微分されてしまうという性質です。ナブラに左から何か掛けてもそれは単なる積です。こうした『微分演算子』という役割を持つため、ナブラを掛け算するときには注意が必要です。たとえば内積も可換ではなくなります。順々に $\nabla$ を使った計算を見ていくので馴れていくとは思いますが、このことを念頭に置いておいて下さい。 よくある間違い_ を参考にしてください。
.. _共変ベクトルと反変ベクトル: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis/CovariantContravariant/
.. _よくある間違い: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis/CommonMistakes/
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-10-11@@
@@category: ベクトル解析@@
@@id: ScalarFieldGrad@@
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