記事ソース/スカラー関数の線積分
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記事ソース/スカラー関数の線積分†これはrst2hooktailの記事ソース保存・変換用です（詳細）． コンバート公開・更新メニュー ▼▲記事ソースの内容
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スカラー関数の線積分
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この記事では、線積分という積分を勉強します。次の記事以降ではベクトルの線積分を考えますが、まず線積分という計算になれるためにスカラーを線積分するところから始めようと思います。解析学的な立場で厳密に考えることはしません。あくまで、直観的なイメージ重視でいきます。
線積分
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高校で最初に積分を習ったとき、次図のようなイメージを使った人が多いかと思います。
.. image:: Joh-LineIntegral01.gif
変数 $x$ の各点で定義される関数 $f(x)$ の値に $\Delta x$ を掛け、この微小面積を $x$ の全範囲に渡って足し合わせた量を考えます。図では、短冊状の長方形領域が幾つか描かれていますが、この幅を極限まで狭くし、かわりに無限に多くの短冊状領域を考えた極値的が $\int_{x_{1}}^{x^{2}} f(x)dx$ という量になります。動的なイメージとしては、この積分は変数 $x$ が $x$ 軸という *直線の上* を $x_{1}$ から $x_{2}$ まで動くとき、時々刻々 $f(x)$ の値を足していった総和が積分だと考えても良いでしょう。ここまでは、高校数学の復習です。
さて、二変数関数 $f(x,y)$ を積分するときも要点は全く同じで、各点 $(x,y)$ で定義される関数 $f(x,y)$ の値を全範囲に渡って足し合わせることを考えますが、『 $x$ と $y$ がどう動くか』という点について、もう少しよく考えないといけません。一変数の場合は変数の動き方は一次元的で、 *積分区間* と呼べるものでしたが、二変数の場合、変数 $x,y$ が $xy$ 平面上でどのような領域を動くのかを考えないといけません。積分領域は $xy$ 平面上で何か平面図形になるでしょう。例えば，次図は積分領域が長方形の場合のイメージ図です．各点 $(x,y)$ で定義される関数 $f(x,y)$ の値に $\Delta x \Delta y$ を掛けた四角柱の *体積* を，全体に渡って足し合わせるイメージです．$\Delta x \rightarrow 0$ , $\Delta y \rightarrow 0$ の極限を取り，その代わりに無限に多くの四角柱を考えることにすれば，積分 $\int \int f(x,y)dxdy$ を得ます．
.. image:: Joh-LineIntegral02.gif
今のような話は、重積分を勉強したことがある人は知っていると思います。また、積分領域が曲線である積分を *線積分* と呼びます。線積分は、最初の短冊型領域の面積を足していくイメージで考えれば良いですが、短冊型領域を考えるのは直線上ではなく曲線上になります。
.. image:: Joh-LineIntegral03.gif
曲線を $C$ 、関数を $f(x,y)$ として、線積分は次のように表わされます。 $ds$ を曲線の微小な弧の長さとすると、 $f(x,y)ds$ が微小短冊型領域の面積になります。（ $ds$ については 空間曲線と接線の方程式_ を参照してください。）
<tex>
\intop \limits_{C} f(x,y) ds \tag{1}
</tex>
もし、 $C$ が空間曲線なら三変数で次のようになります。
<tex>
\intop \limits_{C} f(x,y,z) ds \tag{2}
</tex>
.. [*] 四次元以上の線積分を考えることはあまりありませんが、同じように変数を増やすことで何次元にでも拡張できます。
弧長パラメーター $ds$ に関して、デカルト座標系なら $ds = \sqrt{dx^2 + dy^2 + dz^2}$ と書けて、ベクトル表示で $d\bm{s}= \bm{e_{x}}dx+\bm{e_{y}}dy+\bm{e_{z}}dz$ のように表わすことも可能です。普通は $d\bm{s}$ とか書かずに $d\bm{r}$ と書きます。線積分をベクトル表示にすれば、以下のようになります。
<tex>
\intop \limits_{C} f(x,y,z) d\bm{r} = \bm{e_{x}}
\intop \limits_{C} f(x,y,z) dx + \bm{e_{y}}
\intop \limits_{C} f(x,y,z) dy + \bm{e_{z}}
\intop \limits_{C} f(x,y,z) dz \tag{3}
</tex>
線積分の計算
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実際に線積分を計算するときには、積分経路となる曲線の方程式が必要です。例えば、曲線が $f(x,y,z)=0$ の形で与えられるとき、この曲線に沿って $x,y,z$ がどう動くのかを記述するのはかなり面倒です（方程式 $f(x,y,z)=0$ を解くのと同じ手間がかかります。）。もし、曲線がパラメーター表示できるなら、『曲線上を点 $M_{1}$ から $M_{2}$ まで動く』という条件を『パラメーター $t$ が $0$ から $1$ まで動く』のように言い換えることができ、実質的に一変数の積分にまで問題を簡単化することが出来ます。パラメーター表示がお薦めです。
<tex>
\bm{e_{x}}
\intop \limits_{C} f(x,y,z) dx + \bm{e_{y}}
\intop \limits_{C} f(x,y,z) dy + \bm{e_{z}}
\intop \limits_{C} f(x,y,z) dz
=
\bm{e_{x}}
\intop \limits_{C} f(x,y,z) \frac{dx}{dt}dt + \bm{e_{y}}
\intop \limits_{C} f(x,y,z) \frac{dy}{dt}dt + \bm{e_{z}}
\intop \limits_{C} f(x,y,z) \frac{dz}{dt}dt \tag{4}
</tex>
練習問題１
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曲線 $C: \ (x,y,z)=(a\cos t,a\sin t, bt)$ に沿って、関数 $f(x,y,z)=x^2 + 2y +z$ の線積分 $\intop \limits _{C} f(x,y,z)ds$ を求めて下さい。 $t$ は $0$ から $\pi$ まで動くものとします。
ヒント：まず、 $f$ を $t$ だけで表わしましょう。そして $\frac{ds}{dt}dt$ を求めましょう。 $ds=\sqrt{dx^2 + dy^2 + dz^2}$ を使ってください。
練習問題２
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曲線 $C: \ (x,y,z)=(t,t^{2},t^{3}) \ (0 \le t \le 1)$ に沿って、関数 $f(x,y,z)=xyz$ の線積分 $\int \limits _{C} f(x,y,z)d\bm{r}$ を求めて下さい。
ヒント：まず、 $f$ を $t$ だけで表わしましょう。成分毎に $\frac{dx}{dt}dt$ , $\frac{dy}{dt}dt$ , $\frac{dz}{dt}dt$ を求めてください。
.. _空間曲線と接線の方程式: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis/SpaceCurveTangent/
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-10-11@@
@@category: ベクトル解析@@
@@id: LineIntegralScalar@@
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