記事ソース/クラインの四元群 - 物理のかぎプロジェクトWiki

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記事ソース/クラインの四元群†

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クラインの四元群
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教科書によく出てくるものに、クラインの四元群というものがあります。クラインの四元群とは、位数４の可換群です。位数４の可換群なので、 $4 \times 4$ の群表(対角線に対して対称になるはず)を書けば、元同士の演算関係を網羅できるはずです。

群の構造としては、群表を書いた時点で説明を尽くしているのですが、具体的にはクラインの四元群は $x,y,z$ 各軸回りに $180$ 度回転させる回転操作の群として表現されます。


クラインの四元群　
------------------------------------------------
次図のように、 $x$ 軸、 $y$ 軸、 $z$ 軸に沿って図形を $180$ 度回すような回転を、それぞれ $p,q,r$ と名づけます。(有限回転の操作は、一般に非可換です。 無限小回転１_ を参照してください。しかし、回転角が $180$ 度の場合は可換になります。つまり、これは有限回転の操作の中では、かなり例外的なものです。)

.. image:: Joh-Klein1.gif
  :align: center


例えば、 $p$ の操作の後に続けて $q$ の操作を行うことは、 $r$ の操作に等しくなります。

.. image:: Joh-Klein2.gif
  :align: center


想像だけで考えていると混乱してくるので、どうか何か手に取って、実際に回して確認してみてください。同様に、 $q$ に続けて $r$ を行う変換は、 $p$ に等しくなります。また、同じ変換を二回続けて行うと、何もしなかったの(恒等変換 $e$ )と同じになります。

これらの回転操作 $e,p,q,r$ は群をなします。群表にまとめると、次のようになります。


.. csv-table:: クラインの四元群の群表
  :header: "", "e", "p","q","r"
  :stub-columns: 1

  "e",  "e" , "p" ,"q","r" 
  "p",  "p" , "e","r","q" 
  "q",  "q" , "r","e","p"
  "r",  "r", "q","p","e" 


.. [*] クラインの四元群の元 $p,q,r$ はどれも二乗すると $e$ になりますから位数は $2$ だと言えます。クラインの四元群は、巡回群ではない群としては最小のものです。クラインの四元群が存在することと、四次方程式に解の公式が存在することは、ガロア理論によって結び付けられます。



同じ構造の群
---------------------------------------------------
上の表中、 $\{ e,p,q,r \}$ として、回転操作の代わりに、次のような四つの行列の積を考えても、上と同じ群表を満たします。計算して確かめてみましょう。ただし $j$ は二乗して $j^{2}=1$ となる、 分離複素数_ と呼ばれるちょっと変わった数です。複素数ではありません。


<tex>
e= \Big( \begin{array}{cc}
1 & 0  \\
0 & 1  \\
\end{array}
\Big) , \  \  \  
p= \Big( \begin{array}{cc}
1 & 0  \\
0 & -j  \\
\end{array}
\Big) , \  \  \  
q= \Big( \begin{array}{cc}
-j & 0  \\
0 & 1  \\
\end{array}
\Big) , \  \  \  
r= \Big( \begin{array}{cc}
-j & 0  \\
0 & -j  \\
\end{array}
\Big) 
</tex>

つまり、これらの行列の集合は、群として同じ構造をしているということです。他にもクラインの四元群と同じ構造の集合(元が４つあり、同じ群表を満たすもの)を探してみましょう。



.. [*] クライン( $\text{Felix Klein (1849-1925)}$ )は、群論の幾何学における重要性を大いに研究した数学者です。クラインがエルランゲン大学で行った講義をまとめた『エルランゲン目録』は特に有名で、「一つの幾何学は、一つの変換群によって不変な性質を研究する不変式論である」との主張を行いました。なんのこっちゃ、と思うかも知れませんが、これはショッキングな宣言です。噛み砕いて言えば、あるタイプの幾何学には、一つの変換群が一対一に対応するという主張なのです。具体的には、ユークリッド幾何学には運動群が、アフィン幾何学にはアフィン群が、射影幾何学には射影変換群が対応するという具合です。このようにして、色々な分野に分かれていた幾何学が、群論によって統一的に扱われる可能性が拓かれ、逆に、群論の研究から、新しいタイプの幾何学が生まれてくる可能性もが示されました。いまや幾何学の勉強に群論は欠かせません。



練習問題１
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 
クラインの四元群は４次の対称群 $S_{4}$ の元のうち、 次の四つを元とする部分群だと言うこともできます。群表を書いて確認してみましょう。（上の群表で $e,p,q,r$ に当たるのは、それぞれどれでしょう？）

<tex>
\Big( \begin{array}{cccc}
1 & 2 & 3 & 4 \\
1 & 2 & 3 & 4 \\
\end{array}
\Big) ,
\Big( \begin{array}{cccc}
1 & 2 & 3 & 4 \\
2 & 1 & 4 & 3 \\
\end{array}
\Big) ,
\Big( \begin{array}{cccc}
1 & 2 & 3 & 4 \\
3 & 4 & 1 & 2 \\
\end{array}
\Big) ,
\Big( \begin{array}{cccc}
1 & 2 & 3 & 4 \\
4 & 3 & 2 & 1 \\
\end{array}
\Big) 
</tex>

練習問題２
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
二つの文字からなる集合 $S=\{A,B \}$ と $T=\{1,2\} $ を考えます。これらを組み合わせできる文字は全部で $\{A1,A2,B1,B2 \}$ の４つです。これに二つの関数 $\sigma , \tau$ を考えます。 $\sigma$ は文字に作用すると $A$ と $B$ を入れ換えてしまう関数です。すなわち $\sigma (A1)=B1,\ \sigma (B2)=A2$ のようになります。一方、 $\tau$ は数字を入れ換えてしまう関数で $\tau (A1)=A2,\ \tau (B2)=B1$ のように働きます。

1.  $\sigma$ と $\tau$ の結合は可換であることを確認してください。
2.  $\sigma , \tau , \sigma \circ \tau$ と恒等置換 $e$ の四つは群をなし、クラインの四元群と同型であることを確認してください。


.. _三次方程式の解の公式: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/CubicEquation
.. _無限小回転１: http://www12.plala.or.jp/ksp/mechanics/infinitesimalRot1/index.html
.. _分離複素数: http://en.wikipedia.org/wiki/Split-complex_number
.. _参考: http://www.vsmp.ch/bulletin/no93/html_ethno/html_ethno.html

@@author:Joh@@
@@accept: 2006-04-23@@
@@category: 代数学@@
@@id: KleinQuaternion@@
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