記事ソース/ガウス関数のモーメントを簡単に計算する方法
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記事ソース/ガウス関数のモーメントを簡単に計算する方法†これはrst2hooktailの記事ソース保存・変換用です（詳細）． コンバート公開・更新メニュー ▼▲記事ソースの内容============================================================
ガウス関数のモーメントを簡単に計算する方法
============================================================
この記事では、確率・統計で使われる、ガウス分布のモーメント計算を簡単にする為のテクニックを紹介します。
ちなみに、
<tex>
\int_{-\infty}^\infty e^{- \alpha x^2} dx = \sqrt{\dfrac{\pi}{\alpha}} \tag{##}
</tex>
は、既知であるとします。ご存知のない方は、COさんの、 ガウス積分の公式_ をご覧ください。
モーメントとガウス分布
=========================
分布関数 $ p(x) $ に対し、 $n$ 次（ $n$ は整数）のモーメント $\langle x^n \rangle$ とは、
<tex>
\langle x^n \rangle = \dfrac{\int_{-\infty}^\infty x^n p(x) dx}{\int_{-\infty}^\infty p(x) dx} \tag{##}
</tex>
で定義されます。ここで、式 $(2)$ の分母は正規化を表しており、
<tex>
p^\prime(x)=\dfrac{p(x)}{\int_{-\infty}^\infty p(x) dx} \tag{##}
</tex>
とすれば、分布関数 $ p^\prime(x) $ は総和が $1$ に等しいので、
変数 $x$ での値を取る時の確率が $p^\prime(x)$ となっています。
ところで、ガウス分布とは実数 $\alpha (>0) $ として、
<tex>
p_G(x)=\exp(-\alpha x^2) \tag{##}
</tex>
という釣鐘（つりがね）型の分布関数をした分布です。この関数のことをガウス関数、または、ガウシアンと呼びます。
グラフにすると
.. image :: chromel-gaussMoment-01-t.png
と、このようになります。パラメータの $\alpha$ は、大きいほど原点に局在する鋭い分布関数になります。
ガウス関数のモーメント
===========================
ここで、ガウス分布に関するモーメントを考えてみましょう。モーメントを表す括弧に $_G$ の添え字をつけて、
ガウス分布であることを表示しておきます。
ちなみに、
<tex>
\int_{-\infty}^\infty e^{- \alpha x^2} dx = \sqrt{\dfrac{\pi}{\alpha}} \tag{##}
</tex>
は、既知であるとします。
すると、まず $0$ 次のモーメントは、
<tex>
\langle x^0 \rangle_G &= \dfrac{\int_{-\infty}^\infty x^0 p_G(x) dx}{\int_{-\infty}^\infty p_G(x) dx} \\
&= \dfrac{\int_{-\infty}^\infty p_G(x) dx}{\int_{-\infty}^\infty p_G(x) dx} \\
&= \dfrac{\sqrt{\pi/\alpha}}{\sqrt{\pi/\alpha}} \\
&= 1 \tag{##}
</tex>
となります。これは簡単でしたね。
次は、 $1$ 次のモーメントです。
<tex>
\int_{-\infty}^\infty x p_G(x) dx \tag{##}
</tex>
は、
<tex>
\dfrac{d}{dx}p_G(x) &= \dfrac{d}{dx} \exp(-\alpha x^2) \\
&= -2 \alpha x \exp(-\alpha x^2) \tag{##}
</tex>
ですから、
<tex>
\int_{-\infty}^\infty x \exp(- \alpha x^2) dx &= \frac{1}{-2 \alpha }\left[ \exp(- \alpha x^2) \right]_{-\infty}^\infty \\
&= 0-0 = 0 \tag{##}
</tex>
より、
<tex>
\langle x \rangle_G = 0 \tag{##}
</tex>
です。一般にガウス関数の奇数次のモーメントは奇関数の積分範囲が原点対称な積分ですから、
ゼロとなります。もし、どうしても計算で示したいときは、 $x^2=u$ と置換積分を行うとよいでしょう。
<tex>
\langle x^{2n+1} \rangle_G = 0 \ \ \ \ (for \ \ \ n=0,1,2,3,\cdots) \tag{##}
</tex>
それでは、 $2$ 次のモーメントを求めます。
それは部分積分を利用します。
<tex>
\int_{-\infty}^\infty x^2 \exp(- \alpha x^2) dx &= \dfrac{1}{-2 \alpha} \int_{-\infty}^\infty x \dfrac{d}{dx}\left( \exp(- \alpha x^2) \right) dx \\
&= \frac{-1}{2 \alpha }\left[ x \exp(- \alpha x^2) \right]_{-\infty}^\infty + \dfrac{1}{2 \alpha} \int_{-\infty}^\infty \dfrac{d}{dx}\left( x \right) \exp(- \alpha x^2) dx \\
&= 0 + \dfrac{1}{2 \alpha} \int_{-\infty}^\infty \exp(- \alpha x^2) dx \\
&= \dfrac{1}{2 \alpha}\sqrt{\dfrac{\pi}{\alpha}} \tag{##}
</tex>
よって、 $2$ 次のモーメントは、
<tex>
\langle x^2 \rangle_G &= \dfrac{\int_{-\infty}^\infty x^2 \exp(- \alpha x^2) dx}{\int_{-\infty}^\infty \exp(- \alpha x^2) dx} \\
&=\dfrac{1}{2 \alpha} \sqrt{\dfrac{\pi}{\alpha}}/ \sqrt{\dfrac{\pi}{\alpha}} \\
&= \dfrac{1}{2 \alpha} \tag{##}
</tex>
非負の整数 $n$ に対して、 $\langle x^{2n} \rangle_G$ は部分積分を繰り返すことで、
求めることができます。
そんな面倒をしなくても
========================
と、ここまでモーメントの計算をしてきましたが、
実は簡単に済ませる方法があるのです。それには、
<tex>
x^{2n} \exp(-\alpha x^2) = \left( - \dfrac{\partial}{\partial \alpha} \right)^{n} \exp(- \alpha x^2) \tag{##}
</tex>
と書けることを利用します。 $x$ での積分と $\alpha$ での積分を入れ替えます。
つまり、
<tex>
\int_{-\infty}^\infty x^{2n} \exp(- \alpha x^2) dx &= \int_{-\infty}^\infty \left( - \dfrac{\partial}{\partial \alpha} \right)^{n} \exp(- \alpha x^2) dx \\
&= \left( - \dfrac{\partial}{\partial \alpha} \right)^{n} \int_{-\infty}^\infty \exp(- \alpha x^2) dx \\
&= \left( - \dfrac{\partial}{\partial \alpha} \right)^{n} \left( \sqrt{\dfrac{\pi}{\alpha}} \right) \tag{##}
</tex>
よって、
<tex>
\langle x^2 \rangle_G &= \int_{-\infty}^\infty x^{2} \exp(- \alpha x^2) dx / \int_{-\infty}^\infty \exp(- \alpha x^2) dx \\
&= \left\{ \left( - \dfrac{\partial}{\partial \alpha} \right) \sqrt{ \dfrac{\pi}{\alpha} } \right\} / \sqrt{ \dfrac{\pi}{\alpha} } \\
&= \dfrac{1}{2 \alpha} \sqrt{ \dfrac{\pi}{\alpha} }/\sqrt{ \dfrac{\pi}{\alpha} } \\
&= \dfrac{1}{2 \alpha} \tag{##}
</tex>
となり、
<tex>
\langle x^4 \rangle_G &= \int_{-\infty}^\infty x^{4} \exp(- \alpha x^2) dx / \int_{-\infty}^\infty \exp(- \alpha x^2) dx \\
&= \dfrac{3}{2 \alpha}\dfrac{1}{2 \alpha} \sqrt{ \dfrac{\pi}{\alpha} }/\sqrt{ \dfrac{\pi}{\alpha} } \\
&= \dfrac{3}{4 \alpha^2} \tag{##}
</tex>
となり、一般に、
<tex>
\langle x^{2n} \rangle_G &= \int_{-\infty}^\infty x^{2n} \exp(- \alpha x^2) dx / \int_{-\infty}^\infty \exp(- \alpha x^2) dx \\
&= \dfrac{(2n-1)!!}{2^n \alpha^{n}} \tag{##}
</tex>
となることが分かります。
ただし、
<tex>
(2n-1)!! = (2n-1) \cdot (2n-3) \cdot \cdots \cdot 3 \cdot 1
</tex>
です。それでは、今日はこの辺で。お疲れ様でした。
.. _ガウス積分の公式: http://hooktail.sub.jp/mathInPhys/gaussIntegral/
@@author:クロメル@@
@@accept:2012-10-28@@
@@category:物理数学@@
@@id:gaussMoment@@
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