記事ソース/ガウスの発散定理の応用
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ガウスの発散定理の応用
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この記事では、 ガウスの発散定理_ から導ける応用的な定理を考えます。ガウスの発散定理がよく分かってない人は、先によく復習しておいて下さい。
【ガウスの発散定理】
<tex>
\int \int \int \limits _{V} {\rm div}\bm{A} dV = \int \int \int \limits _{S} \bm{A} \cdot d\bm{S} \tag{1}
</tex>
派生する定理１
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まず、特殊な場合として、ベクトル場 $\bm{A}$ があるスカラー関数 $\phi$ と適当な定ベクトル $\bm{c}$ を使って $\bm{A}=\bm{c} \phi$ と表わせる場合を考えます。このとき、式 $(1)$ に $\bm{A}=\bm{c} \phi$ を代入すると次式を得ます。 ${\rm div}(\bm{c} \phi) = \bm{c} \cdot (\nabla \phi)$ となることに注意して下さい。
<tex>
\bm{c} \cdot \left(
\int \int \int \limits _{V} \nabla \phi dV - \int \int \limits _{S} \phi d\bm{S} \right) = 0 \tag{2}
</tex>
ここで $\bm{c}$ は任意のベクトルでしたので、括弧の部分 $=0$ が要請されて次式を得ます。これは 面積分と体積分_ で考えた公式に他なりません。（面積分と体積分の記事中では、微分の方向を $x_{1}$ と仮定していましたが、式 $(3)$ はそれが $\bm{n}$ 方向に一般化されています。）
<tex>
\int \int \int \limits _{V} \nabla \phi dV = \int \int \limits _{S} \bm{n} \phi dS \tag{3}
</tex>
右辺で $\bm{n} \phi$ と、少し変な書き方をしましたが、これは狙いがあってのことなので後で説明します。
派生する定理２
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次に $\bm{A}$ があるベクトル関数 $\bm{A'}$ と適当なベクトル $\bm{c}$ を使って $\bm{A}=\bm{A'} \times \bm{c} $ と表わせる場合を考えます。このとき、式 $(1)$ は次式のように変形できます。 ${\rm div}(\bm{A'} \times \bm{c} ) = \bm{c} \cdot (\nabla \times \bm{A'})$ となることと、 $(\bm{A'}\times \bm{c}) \cdot \bm{n}= \bm{c}\cdot (\bm{n} \times \bm{A'})$ に注意して下さい。（よく分からない人は `ベクトルの公式２`_ を参考にして下さい。）
<tex>
\bm{c} \cdot \left(
\int \int \int \limits _{V} \nabla \times \bm{A'} dV - \int \int \limits _{S} \bm{n} \times \bm{A'} dS \right) = 0 \tag{4}
</tex>
ここでも $\bm{c}$ は任意のベクトルでしたので、括弧の部分 $=0$ が要請されて次式を得ます。
<tex>
\int \int \int \limits _{V} \nabla \times \bm{A'} dV = \int \int \limits _{S} \bm{n} \times \bm{A'} dS \tag{5}
</tex>
派生する定理３
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ベクトル場 $\bm{A}$ が、ある適当なベクトル $\bm{c}$ とテンソル $T$ を使って次のように表現できる場合を考えます。
<tex>
A_{i} = T_{ij}c_{j} \tag{6}
</tex>
これを式 $(1)$ に代入し、前の二つの定理と同様の議論を用いると、 $\bm{c}$ が任意のベクトルであることから次式を得ます。
<tex>
\int \int \int \limits _{V} \frac{\partial T_{ij}}{\partial x_{j}} dV = \int \int \limits _{S} T_{ij}n_{j} dS \tag{7}
</tex>
ここまで読んで、式 $(3)(5)(7)$ が全て似たような形をしていることに気がつくと思います。 $\nabla$ の作用の仕方が、 ${\rm grad}$ か ${\rm rot}$ か、はたまた二階のテンソルの微分なのかという違いはありますが、全て次のような形をしています。（作用の仕方が分からないので、 $\nabla$ の右側は $(\cdots)$ としておきます。作用の仕方は、ここに入る関数次第だということにしておきます。）
<tex>
\int \int \int \limits _{V} \nabla (\cdots) dV = \int \int \limits _{S} \bm{n}(\cdots) dS \tag{8}
</tex>
.. [*] 式 $(3)(5)(7)$ が同じ形にまとめられるのは、もちろん偶然ではありません。これらが同じ公式であることは、 微分形式の理論_ を勉強するとより包括的に理解できると思います。また、この記事の兄弟版とも言える ストークスの定理の応用_ も併せてご覧下さい。
.. _`ベクトルの公式２`: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis/VectorFormulae2/
.. _ガウスの発散定理: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis/GaussDivTheorem/
.. _面積分と体積分: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis/SurfaceVolIntegral/
.. _微分形式: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis/differentialforms/index.html
.. _微分形式の理論: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis/differentialforms/index.html
.. _ストークスの定理の応用: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis/StokesTheoremAdv/
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-10-11@@
@@category: ベクトル解析@@
@@id: GaussDivTheoremAdv@@
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