記事ソース/ガウスの発散定理 - 物理のかぎプロジェクトWiki

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記事ソース/ガウスの発散定理†

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ガウスの発散定理
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ベクトルの面積分に関して、 *ガウスの発散定理* と呼ばれる重要な定理があります。


.. admonition:: theorem 

	【ガウスの発散定理】
	  $\int \limits _{V} {\rm div}\bm{A} dV = \int \limits _{S} \bm{A} \cdot d\bm{S}$ 


式の変数や積分領域に説明が必要でしょう。左辺は体積分になっていて、 $V$ というのがその積分領域です。右辺は面積分になっていて、左辺の積分領域を与える図形の、表面積だけを意味するものです。『発散の体積分が、面積分になってしまう』とは、一体どういうことなのでしょうか？この定理の意味は、物理的・直観的に、よく理解できるものなので、定理を忘れないためにも、まずは簡単に、直観的に考えてみたいと思います。


.. [*] この定理を、ガウスの定理、ガウスの積分定理などと呼ぶ人もいますが、ガウス $\text{(Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855))}$ は、あらゆる数学の分野を研究しており、未だに刊行されていない著作集は $50000$ ページを越えるだろうと言われる数学史上最大の超人です。ガウスの定理と言われる定理は無数にあるので、なるべく正確に『ガウスの○○の定理』というように、定理の内容が伝わる名前を使った方が良いと思います。この記事も、そのような理由でガウスの発散定理としました。




.. image:: Joh-GaussDivTheorem05.gif 


ベクトル場 $\bm{A}$ は何かの流れだと考えてください。簡単のため、水の流れだとします。ベクトルの発散は、湧き出しや吸い込みを意味するのでした（ div_ 参照）ので、定理の左辺の意味は『領域 $V$ 内全体で、新たに増えたり減ったりする流れの総量』を表わすと考えられます。いま、水の圧縮性を考えていませんので、もし、湧き出しや吸い込みが全くなければ、領域 $V$ に流入する水量と流出する水量は同じになるはずです。もし湧き出しがあれば、流出する水量の方が多くなり、吸い込みがあれば流入する水量が多くなるはずです。（温泉の湧き出し口か何かをイメージして下さい。）領域 $V$ 全体での、水量の増減がガウスの発散定理の左辺で意味されているわけです。


一方、右辺の中の $\bm{A}\cdot d\bm{S}$ は『この領域 $V$ の表面 $S$ における、 $\bm{A}$ の法線方向成分』だと考えられますので、定理の右辺は『領域の表面 $S$ 全域に渡る、 $S$ を通過する流れの総量』を表わすものと考えられます。つまり、定理の意味を日本語で再び書くと次のようになります。


.. important:: 

	（領域全体での増減）= (領域表面で出たり入ったりした量の差)


もう一度、最初の式とこの文章を比べて、式の意味をきちんと納得できるまで考えてみて下さい。良い例ではないかも知れませんが、卑近な例としては刑務所を例にとることが出来ます。刑務所に収容されている犯罪者数の増減は、『（新たに入所してくる人数） $-$ （出所していく人数）』で表わすことが出来ます。そして、内部の様子はなかなか調べられませんが、調べたいのが増減だけならば、出入り口だけ調べていれば分かるわけです。ガウスの定理の真髄は、領域内部の *体積分を実行するのが大変場合でも、知りたいのが変化率だけならば、表面の出入りだけを調べることで済ませられる* 点にあります。




次に、ベクトル場を $\bm{V}(x_{1},x_{2},x_{3})=(P(x_{1},x_{2},x_{3}),Q(x_{1},x_{2},x_{3}),R(x_{1},x_{2},x_{3}))$ と置いて、ガウスの発散定理の証明を考えます。積分領域 $V$ を囲む閉曲面 $S$ は、表と裏を区別できる曲面だとし、外向きの法線ベクトルを $\bm{n}$ とします。また、次元が分かりやすいように体積分は $\int \int \int$ 、面積分は $\int \int$ のように、積分記号を重ねて書くようにします。


<tex>
\int \int  \limits _{V} \int \left( 
\frac{\partial P}{\partial x_{1}} +
\frac{\partial Q}{\partial x_{2}} +
\frac{\partial R}{\partial x_{3}} 
\right) 
dV 
&= \int \int  \limits _{S}
(P,Q,R)\cdot d\bm{S} \\
&= \int \int  \limits _{S}
(P\cos (\bm{n} ,x_{1}) + Q\cos (\bm{n} ,x_{2}) + R\cos (\bm{n} ,x_{3} )  )dS
</tex>


.. admonition:: proof 

	まず、 $x_{1}$ 軸から考えます。 $x_{1}$ 軸に平行な直線は何本でも引けますが、こうした直線のうち、閉曲面 $S$ と三点以上で交わるものは無いとします。（つまり、 $x_{1}$ 軸と平行で $S$ と交わるような直線は、必ず一点（接する）か二点（交接する）で交わるという仮定です。）これら交点のうち、原点に近い側を $M_{1}$ 、もう一方を $M_{2}$ とします（図１を参照）。このとき、 $V$ の $x_{2}x_{3}$ 平面への射影を $S_{23}$ とすると、体積分の $x_{1}$ 軸方向成分は、 $\int \int \int  \limits _{V} \frac{\partial P}{\partial x_{1}}dV= \int \int \limits _{S_{23}} \left(  \int \frac{\partial P}{\partial x_{1}}dx_{1} \right) dS_{23} = \int \int \limits _{S_{23}} [P(M_{2})-P(M_{1})] dS_{23} $ と表わせます。（ 面積分と体積分_ で考えた形です。）ここで、面積素 $dS_{23}$ は、点 $M_{2}$ における曲面 $S$ の面積素 $dS(M_{2})$ の射影として表現できます。 $dS_{23}=dS(M_{2}) \cos (\bm{n}(M_{2}), x_{1})$ 。（点 $M_{1}$ における面積素 $dS(M_{1})$ の射影も同様ですが、点 $M_{1}$ では法線ベクトルの向きが $x_{1}$ 軸の向きと逆になるため、 $dS_{23}=-dS(M_{1}) \cos (\bm{n}(M_{1}), x_{1})$ のようにマイナスがつくことに注意して下さい。）これより $\int \int  \limits _{V} \int  \frac{\partial P}{\partial x_{1}} dV = \int \int \limits _{S} P \cos (\bm{n},x_{1})dS$ が言えます。 全く同様に $\int \int  \limits _{V} \int  \frac{\partial Q}{\partial x_{2}} dV = \int \int \limits _{S} Q \cos (\bm{n},x_{2})dS$ 、 $\int \int  \limits _{V} \int  \frac{\partial R}{\partial x_{3}} dV = \int \int \limits _{S} R \cos (\bm{n},x_{3})dS$ も言えるので、これらの式の辺々を足して定理が示されます。■



.. figure:: Joh-GaussProof1.gif 
	
	図１


結局、証明では、各成分毎に $\int \int  \limits _{V} \int  \frac{\partial P}{\partial x_{1}} dV = \int \int \limits _{S} P \cos (\bm{n},x_{1})dS$ のような形を考え、最後に三つ足すだけになっています。これら個別の関係式は 面積分と体積分_ で考えたものです。しかし、各成分毎に成り立っている式を、単に辺々足し合わせているだけならば『なぜ成分毎の公式にしないのか？必要な時に足し合わせればいいんだから、その方が細かく使えていいじゃないか。』と思う人がいるかも知れません。ガウスの発散定理が各成分の式を足した形になっているのは、この形が *座標系によらない* からです。つまり、もし $x=x(u,v,w),y=y(u,v,w),z=(u,v,w)$ と表わせるとして、変数を $(x,y,z)$ から $(u,v,w)$ に変換したとしても、ガウスの発散定理はやはり成り立つのです。これは非常に美しい結果ですし、座標成分という勝手に取った標構の向こうに、何か不動の本質的な物が見え隠れしているように思えてきます。ガウスの発散定理の座標不変性については 微分形式_ で詳しく考える予定です。当面はとりあえず、座標不変というキーワードだけを覚えておいて下さい。




.. [*] 証明の中で、 $x_{1}$ 軸に平行な直線は曲面 $S$ と二箇所以上では交わらないと仮定しました。これは、位相的に言えば、領域 $V$ の中に描いた輪を縮めていくとき、輪をどこに取っても一点にまで縮められるということです。ただし、この条件は外すことも出来ます。領域 $V$ の中に、空洞（大根の鬆を想像してください）が幾つかあっても、 $V$ を幾つかの小領域に分割し、それぞれに対してガウスの発散定理を適用することで、全体としてもガウスの発散定理が成り立つことが示せます。隣同士で接している小領域では、接している面での面積分が相殺するからです。



.. figure:: Joh-GaussDivTheorem08.gif 
	
	図２


.. [*] ここまでは、暗黙のうちに曲面 $S$ は十分滑らかだとしていましたが、区分的に滑らかとしても定理は成り立ちます。区分的に滑らかと言うのは、幾つか尖がった点があっても良いということです。三角柱や円筒など、普通の形の領域には、たいていガウスの発散定理が安心して使えます。








.. _div: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis/VectorDivergence/
.. _面積分と体積分: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis/SurfaceVolIntegral/
.. _微分形式: http://www12.plala.or.jp/ksp/differentialforms/index.html/


@@author:Joh@@
@@accept: 2006-10-11@@
@@category: ベクトル解析@@
@@id: GaussDivTheorem@@
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