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記事ソースの内容

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角運動量
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剛体の回転シーリズ第2弾です。前の記事は  ベクトルのモーメントとトルク角運動量_  です。

角運動量の従う式
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ニュートンの力学第二法則は、

<tex>
\bm{F}=m\frac{d^2\bm{r}}{dt^2}=\frac{d\bm{p}}{dt} \tag{1}
</tex>

でした。

適当に座標を決めて、
この式の両辺のモーメントをとってみますと、
<tex>
\bm{r} \times \bm{F}=\bm{r} \times \frac{d\bm{p}}{dt}
</tex>

この式の左辺は力のモーメント(トルク)であり、
<tex>
\bm{N}= \bm{r} \times \bm{F} \tag{2}
</tex>

右辺は、次に示す通り角運動量の時間微分です。

<tex>
\bm{r} \times \frac{d\bm{p}}{dt} &= \frac{d}{dt}(\bm{r} \times \bm{p})-\frac{d\bm{r}}{dt} \times \bm{p} \\
 &= \frac{d}{dt}(\bm{r} \times \bm{p})- m \bm{v} \times \bm{v}  \\
 &= \frac{d}{dt}(\bm{r} \times \bm{p})
</tex>

よって、角運動量とトルクの関係
<tex>
\bm{N}=\frac{d\bm{L}}{dt} \tag{3}
</tex>
が導かれるわけです。

角運動量保存の法則
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いま導いた式のトルクがゼロの時、角運動量は保存量になります。
式 $(2)$ を見れば、これは $ \bm{F}=0 $ の時か、加わる力が $ \bm{r} $ に平行なときです。
特に後者の時、働く力のことを中心力といいます。

今、 $ \bm{r} $ と $ \bm{p} $ が $ xy $ 平面内にあるとき、この中心力が働いていたとします。
この時角運動量は $ z $ 軸方向にあり、 $ z $ 軸方向単位ベクトルを $\hat{\bm{z}}$ とすると、
極座標を用いて、
<tex>
\bm{L}=mrv_\theta \hat{\bm{z}}= mr^2\Dot{\theta} \hat{\bm{z}}
</tex>


$ v_\theta $ は、速度 $ \bm{v} $ の $ \theta $ 方向成分です。
角運動量ベクトルは中心力なので保存しますから、最初の値から変わらず運動中一定です。

面積速度一定の法則
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ここで $\bm{L}$ という量が面積速度という概念と結びつくことを見てみます。

.. image:: chromel-angularMomentum-01-t.png
.. image:: chromel-angularMomentum-02-t.png

面積速度とは原点 $ O $ と質点を結ぶ線分が単位時間当たりに掃く面積のことで、 
$ \bm{r} $ と $ \bm{v} $ のなす角度を $ \phi $ とすれば、
<tex>
\bm{S}= \bm{r} \times \bm{v} \\
|\bm{S}|=\frac{1}{2}|\bm{r}|\ |\bm{v}|\sin \phi
</tex>
となります。上の図では時間中に接線速度ベクトルが変化していませんが、
これは点 $ P $ における瞬間的な面積速度と考えれば正確に一致します。

さて、図を見れば $\bm{L}$ を $ 2m $ で割ってやれば $ \bm{S} $ となることが分かります。
つまり、角運動量保存の法則は、面積速度は一定になることと同等であることがわかります。

.. _ベクトルのモーメントとトルク角運動量: http://www12.plala.or.jp/ksp/mechanics/moment/

@@author:クロメル@@
@@accept:2007-03-23@@
@@category:力学@@
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