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あらゆる実数 &tex{\lambda (0 \lt \lambda)}; について,ガンマ関数はつぎの積分で定義される
あらゆる実数 &tex{\lambda \ (0 < \lambda)}; について,ガンマ関数はつぎの積分で定義される
#tex{{{
\Gamma(\lambda) = \int_{0}^{\infty}x^{\lambda-1}e^{-x}dx
}}}
ガンマ関数は n! を解析接続した関数である.これを部分積分すると
$\displaystyle \Gamma(\lambda)=(\lambda-1) \Gamma(\lambda-1) ,\qquad \lambda\geqq2$ (11.6)
となる.特に $ \lambda$ が整数のときは
$\displaystyle \Gamma(\lambda)=(\lambda-1)!$ (11.7)
である.以下にガンマ関数の例を上げる.
$\displaystyle \Gamma(1)=1, \quad \Gamma(2)=1, \quad \Gamma(3)=2, \quad \Gamma\l... ...frac{\sqrt{\pi}}{2}, \quad \Gamma\left(\frac{5}{2}\right)=\frac{\sqrt{3\pi}}{4}$