加法定理で, &tex{\alpha = \theta}; , &tex{\beta = 2\theta}; と置き,2倍角の公式を再び使えば導ける.もしくは,オイラーの関係式 &tex{\exp ^{\pm \theta} = \cosh \theta \pm \sinh \theta}; の両辺を3乗して,工夫するのも良い方法. #tex{{ \sinh 3 \theta = 3 \sinh \theta + 4 \sinh^3 \theta }} #tex{{ \cosh 3 \theta = 4 \cosh^3 \theta -3 \cosh \theta }} #tex{{ \tanh 3 \theta = \frac{3 \tanh \theta + \tanh^3 \theta}{1+ 3 \tanh^2 \theta} }}