連立一次方程式を解く2 の変更点


 RIGHT:寄稿:東條遼平
 
 * LU分解を用いて連立一次方程式を解く [#caa4b1d8]
 
 せっかくLU分解を作ったのでそれを用いて連立一次方程式を解いてみます。
 LU分解を使って連立一次方程式が解けるということはLU分解
 のところで書きましたので併せて見てください。例えば係数の行列が3×3であれば、
 
 #ref(img174.png,nolink)
 
 のように下三角行列Lと上三角行列Uに分解でき、
 
 #ref(img175.png,nolink)
 
 という連立一次方程式であれば、
 
 #ref(img176.png,nolink)
 
 を解くことと等価となります。ここでベクトルcを考え、
 
 #ref(img177.png,nolink)
 
 とおくと、
 
 #ref(img178.png,nolink)
 
 となりますが、このベクトルcを求める事を前進代入といいます。cが求まると次に
 
 #ref(img177.png,nolink)
 
 より、ベクトルxを求めることが出来ます。これを後退代入といいます。
 
 * ソースコード [#n2ce6604]
 
 行列matrixとベクトルansは引数として受け取った係数行列とyベクトルです。
 
  order = LU(matrix);
  
  for(i=0; i<ans->size; i++){
    if(i != order[i]){
      tempd = ans->v[order[i]];
      ans->v[order[i]] = ans->v[i];
      ans->v[i] = tempd;
  
      order[order[i]] = order[i];
      order[i] = i;
    }
  }
  
 
 LU分解の計算中に都合がいいように行を入れ換えられるので、
 どの行とどの行が入れ換えられたかわかるように、例えば0行目と2行目が入れ換えられれば、
 orderは2、1、0、3、4・・・となっています。そのため、それに合わせるために
 ベクトルansの方も入れ換えます。
 
  for(i=1; i<height; i++){
    for(j=0; j<i; j++){
      ans->v[i] -= ans->v[j]*matrix->a[i*width + j];
    }
  }
  
 
 それでは前進代入です。下三角行列である行列Lは対角成分が1なので、
 他の項を引いてやるだけです。これでベクトルansはベクトルcになりました。
 
  for(i=height-1; i>=0; i--){
    if(!(matrix->a[i*width + i])){
      fprintf(stderr, "Error In FBSubstitution.\n");
      exit(1);
    }
  
    ans->v[i] /= matrix->a[i*width + i];
    for(j=i-1; j>=0; j--){
      ans->v[j] -= ans->v[i]*matrix->a[j*width + i];
    }
  }
  
 
 ここで後退代入を行っています。後退代入は前進代入と違って対角成分がまちまちなので、
 他の項を引いた後に対角成分で割る必要があります。そのためゼロでないかのチェックが必要になります。
 
 - &ref(main.c);
 - &ref(calculation.c);
 - &ref(calculation.h);
 
 
 
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